数学世界的“大卫王：普通娃如何成为数学翘楚

1943年2月14日是圣瓦伦丁节（Valentine’s Day），即当今已经风靡中国的情人节。如果它落在和平时代，配偶们、情侣们会以卡片或鲜花表达爱意。然而，世界反法西斯阵营其时正与纳粹德国殊死相搏，英国以图灵（Alan Turing，1912—1954）为代表的数学家们正在运用他们的智慧，埋头破译德军密码。

至于德国，在纳粹把持下，几年来，曾经的世界学术中心哥廷根大学有大批犹太学者被迫逃离。而就在圣瓦伦丁节这天，一位刚过了八十一周岁生日的老人在孤独中去世，他是数学世界的“大卫王”——大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862年1月23日—1943年2月14日）。

虽然在纳粹眼里，他上数几代都“根红苗正”——纯粹的雅利安人，然而一生正直的希尔伯特绝非像出身哥廷根的弟子辈数学家比贝尔巴赫（Ludwig Bieberbach，1886—1982）那样追随希特勒迫害犹太数学家。正因为不与纳粹分子合作，这位十九世纪末、二十世纪初与庞加莱（Henri Poincaré，1854—1912）齐名的世界数学领袖，丧礼极为简易，只有十来个好友和弟子站在他的灵柩前，追忆他伟大的一生。

希尔伯特曾把数学家分成两类：解决过被认为是有价值问题的和没有解决过这类问题的。他是第一类数学家中的“亚历山大大帝”，这个借喻出现在西方数学家传记中写得最受好评的一部——Hilbert之中文译本《希尔伯特：数学界的亚历山大》的标题中。传记的作者Constance Reid虽非数学家，但与她一岁之差的妹妹是美国国家科学院首位数学家院士。这两类数学家中也有两种人，一种人极富人性，充满正义感，而另一种人则与之相反。希尔伯特属于第一种，而比贝尔巴赫则属于第二种。

第一类数学家中的第一种人值得后人纪念和学习，无论他们离世多少年。在希尔伯特去世八十年后的今天，让我们回眸他超凡的八十年人生。

康德的同乡

根据希尔伯特自己的叙述，他出生的城市是东普鲁士的首府柯尼斯堡（Königsberg）。现在它属于俄罗斯，名为加里宁格勒。在近八百年的历史中，柯尼斯堡最有名的居民是任何读过中学的人都听说过的哲学家康德（Immanuel Kant，1724—1804）。

康德对普通人而言，基本上是只闻其名，不懂其思想，因为他的著作深奥难读。然而，人们却常常引用他的一句名言：“有两件事，越是经常、越是持续地思考，心中就会充满新的、不断增长的钦佩和敬畏：我头顶的星空和我内心的道德法则。”这句话出自1788年出版的《实践理性批判》之第三十四章《结论》，其要点也刻在柯尼斯堡大教堂地下圣堂的墙上：

“世上最奇妙的是我头上的灿烂星空和我内心的道德准则。”

每到康德生日4月22日这一天，地下圣堂对外开放，童年时的希尔伯特跟随爱好哲学与天文的母亲去瞻仰柯尼斯堡最伟大儿子的半身雕像，一字一句地读着墙上的那句“康德格言”。那时，他尚不知道数学的星空和道德的海洋会怎样任他飞翔和畅游。

今天，学数学的人不仅知道柯尼斯堡是希尔伯特的出生地以及他和终身朋友、英年早逝的数学家闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864—1909）发展友谊的福地，而且该地还因著名的“七桥问题”而名留史册。当地有条分成两条支流的大河，河上共有七座桥，问：能否一桥只能行走一次地走遍这七桥？然而，人们却无法求解这道题。

1736年，瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）以他智慧的大脑将水上的桥与两岸陆地之间的关系数学化成“点边关系”，将“七桥问题”转为一笔画问题。欧拉得出结论：柯尼斯堡的居民无论怎样努力，都不可能“不走回头桥”地走遍七桥。这不仅给出了图论历史上的第一个定理，而且其“不计几何形状”的要点预示着拓扑学思想的最初萌芽。

这个看似属于趣味数学的过桥问题对于柯尼斯堡的城市史来说只是一朵小小的浪花而已，但是对于数学而言，它却催化出对现代生活有巨大用途的组合学分支——图论。大数学家欧拉解惑七桥问题这一数学史实或许也默默地帮助了这座城市孕育出世间罕见的两副数学大脑。

我们知道欧美许多大学者具有犹太血统，如：爱因斯坦（Albert Einstein，1879—1955）、航空工程学家冯·卡门（Theodore von Kármán，1881—1963）、电子计算机之父冯·诺伊曼 （John von Neumann，1903—1957）、原子弹之父奥本海默 （J. Robert Oppenheimer，1904—1967）、氢弹之父乌拉姆（Stanislaw Ulam，1909—1984）以及诺贝尔奖得主费曼 （Richard Feynman，1918—1988）等。这给人一个错觉：西方大科学家血管里流动着犹太血液的概率为1。非也！希尔伯特就是反例。尽管他最有名的两个弟子外尔 （Hermann Weyl，1885—1955）和柯朗 （Richard Courant，1888—1972）都是犹太人，他却与犹太血统绝缘。

此外，希尔伯特并无显赫家世，他的父亲是一位普通法官，一生品行端正，母亲生于商人之家，对素数颇感兴趣。他们唯一的儿子出生后既没有显示出天才迹象，也没有表现出愚笨的苗头，完全是个和邻居家一样普通的孩子，跟父母学到了正直与坚强。历史证明，他属于“后发制人”的那类天才。在他出生两年半后，远在俄国的一家生下一个“先发制人”的天才——闵可夫斯基，其成名早于希尔伯特，出名后的他视尚未出名的希尔伯特为终身朋友，而且一直甘居“第二小提琴手”的位置。

希尔伯特的少年时期没有留下惊艳的故事，在家接受了两年教育后，八岁的他进入皇家腓特烈中学 （Friedrichskolleg Gymnasium）的初级部，这是一所在柯尼斯堡有名望的私立学校，历史悠久，也是康德读过书的地方，说明父母对他抱有期望。两年后，希尔伯特升入本部；那年，八岁的闵可夫斯基跟随家庭从俄帝国统治下的波兰小城阿列克索塔搬到柯尼斯堡。不久，命运将把这两个不同类型的天才召集到一起，谱写出一曲数学英雄惺惺相惜之歌。

腓特烈中学校名中的那个专用名词Gymnasium的本意是“体育馆”，表达了学校的办学目标：像体育馆训练形体那样训练智力。在那时代，训练智力的主要器械来自“语言库”，库存的主要是拉丁语和希腊语，数学则屈居第二位，科学几乎不上场。枯燥的语法学习需要背功，这正是希尔伯特与生俱来的弱项。在这所因循守旧的学校，他发现记忆东西十分困难，死记硬背的教学要求令他不胜苦恼，尤其是语言课令他特别不愉快。

好在有一门课让他很愉快，这就是其重要性排在语言后面的数学。数学课对他胃口，带给他无穷乐趣，因为它不用去死记，他可以自己重新推导出结果。然而，对于概念的理解，希尔伯特的特点是“慢速理解”。不过，他遗传自父亲的坚强意志力给了他不甘落他人之后的勇气，对每样所学，他都完全消化，彻底搞懂，这种做法他保持了一辈子。后来，即便成了最有名望的数学家，他还是需要很长时间才能理解别人在学术演讲中所表述的内容。

1879年秋，希尔伯特从私立学校转到公立的威廉中学（Wilhelm Gymnasium），那里的数学氛围浓多了，课堂里甚至讲到了几何学的新概念。他未来兄弟般的同道闵可夫斯基“靠着他极好的记忆力和敏捷的理解力”，在阿尔斯塔特中学（Altsadt Gymnasium）用了五年半就读完了八年的课程，已经早他进了柯尼斯堡大学。当一位中学数学老师因理解错了而“挂了黑板”时，同学们异口同声地喊道：“闵可夫斯基，去帮帮忙！”相比之下，希尔伯特对自己的回忆则为“小时候是个笨孩子”。

然而，威廉中学成了发现希尔伯特数学天赋的伯乐，并助其成长。虽只有一年光景，他的数学突飞猛进（成绩“超等”），也带动了其他课程精进（门门“优等”）。他的毕业证书上写道，他的勤奋“堪称模范”，“对科学有浓厚的兴趣”，最末的评语是：

“他对数学表现出极强烈的兴趣，而且理解深刻：他用非常好的方法掌握了老师讲授的内容，并能有把握地、灵活地运用它们。”

由此依稀可见，这位中学毕业生已经显露出创造型数学家的某种潜质。

1880年，十八岁的希尔伯特也考进了1544年建校的柯尼斯堡大学，前一个世纪，康德在此就读，并从1770年起担任逻辑学及形而上学的正教授。在到那时为止超过三百年的校史中，一些著名数学家给学校增辉，其中雅可比（Carl Gustav Jacobi，1804—1851）最为杰出，在许多领域作出了根本性贡献，如椭圆函数。

父亲想让希尔伯特学法律，但他决定学数学。这时，维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass，1815—1897）已让微积分严格化，康托尔（Georg Cantor，1845—1918）正在发展集合论。第一学期希尔伯特修了三门数学课：积分学、矩阵论和曲面论，第二学期按惯例他转到海德堡大学听课，而此时的闵可夫斯基已经转学到柏林大学半年了，所以他们还未相遇。

在海德堡，希尔伯特遇到对他有影响的第一位教授——富克斯（Lazarus Fucas，1833—1902），他以线性微分方程的工作著称于世。在他的课堂，希尔伯特发现教授不事先准备讲稿，而是给学生一个机会，“瞧一瞧高超的数学思维是怎样进行的”。

本来，第三学期希尔伯特可以继续游学到柏林大学，那里有几大数学家，包括分析大王维尔斯特拉斯，然而想家的他决定杀回老家去，这客观上让他推迟了一学期见到翌年春返回柯尼斯堡大学的闵可夫斯基。然而，大学里唯一的数学正教授韦伯（Heinrich Weber，1843—1912）传授了他数论、函数论的知识，特别是让他接触到时髦的“不变量理论”，而几年后希尔伯特闻名世界的第一项数学贡献就属于它。

希尔伯特入大学的第四学期，也就是1882年春季，游学柏林大学三学期之久的闵可夫斯基满载而归。再过了一年，他一举成名：刚刚十八周岁的他与参赛后去世的英国著名数学家史密斯（Henry Smith，1826—1883）共享了巴黎科学院的数学奖，该奖悬赏求解：将自然数分解为五个平方数之和。

1883年，二十一岁的热情的希尔伯特与十九岁的腼腆的闵可夫斯基交上了朋友，这一兄弟般的友谊延续到闵可夫斯基的生命终结。

柯尼斯堡三剑客

希尔伯特前半生的事业，与闵可夫斯基对他的激励和影响密不可分，而杰出的数学家赫尔维茨（Adolf Hurwitz，1859—1919）充当了他们的“数学大哥”角色。

闵可夫斯基是像后一辈的匈牙利人冯·诺伊曼那样的少年天才，他的二哥奥斯卡后来成为“胰岛素之父”。与希尔伯特的三角形脸型不一样的是，闵可夫斯基的脸是圆的，这两种都为凸的几何图形是欧几里得几何的主要对象，于是长大后希尔伯特出版了《几何基础》，闵可夫斯基则开创了“凸几何”的领域。

1884年春，即将二十五岁的赫尔维茨从哥廷根来到柯尼斯堡担任副教授。他和闵可夫斯基一样是犹太人，一样是早熟的数学家，1881年于莱比锡大学在克莱因（Felix Klein，1849—1925）的门下获得博士学位。他的加盟，给这所大学的数学空气注入了新的氧气，加速了希尔伯特和闵可夫斯基的成长。尽管希尔伯特的博士论文是由证明圆周率为超越数的林德曼（Ferdinand Lindemann，1852—1939）指导的，但他从赫尔维茨这个思想泉涌的副教授那里得到的数学教诲，远远超过韦伯教授及其继任、自己的博士导师林德曼教授。

每天下午“准五点”，赫尔维茨、希尔伯特及闵可夫斯基便齐聚在一棵苹果树下散步，讨论当前数学的最新问题，交换各自对此的理解和研究计划。他们都明白，这种积极的取长补短探索真理的方式，要比待在昏暗的教室或图书馆啃书本好得多。希尔伯特后来回忆道：“那时候没想到我们竟会把自己带到这么远！”

本来希尔伯特想推广连分数做博士论文，但林德曼劝阻了他：“雅可比早已给出了这种推广。”导师提议：就做代数不变量理论吧！这是关于代数形式在某些变换下某种性质不变的学问。比如，坐标平面上的椭圆在平移或旋转后不会变成另一种曲线，所以它的二次方程ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0在对应的变换后其“结式”b² – 4ac依然保持为负。

克莱因著名的“埃尔朗根纲领”就是通过变换的不变性来划分不同的几何。代数不变量理论有两位父亲：都当过律师的英国人凯莱 （Arthur Cayley，1821—1895）和西尔维斯特 （James Sylvester，1814—1897）；学过线性代数的人都知道他们各自在矩阵论里建立的著名定理。在希尔伯特成长的初期，这是个非常热门的新领域。

希尔伯特在博士论文中研究了某些代数形式的不变性问题，他在这第一项有价值的工作中显示了创造力，因为他没有跟随前人走老路，而是别出心裁地想出了新方法。他把初稿寄给了因父亡故回家奔丧的闵可夫斯基。才华横溢的后者第一次被前者的才智感动了：“我从未想到这么精彩的数学定理会出现在柯尼斯堡！”

1885年，希尔伯特和闵可夫斯基先后取得博士学位，后者紧接着被征召入伍，而前者在赫尔维茨的建议下到克莱因处充电去了。克莱因在希尔伯特当时的岁数就当上了埃尔朗根大学的正教授，他那著名的“埃尔朗根纲领”就是其就职典礼演讲上提出的。但已执教十三年的他，由于和法国数学家庞加莱在自守函数研究上的全力竞争而身体受损，元气大伤，创造力大降，然而他与生俱来的行政能力和领袖魅力将在哥廷根大放异彩。

克莱因具有识别人才的犀利眼光，一听希尔伯特在他的讨论班上的报告，“我就知道他是一个数学方面的后起之秀。”虽然不变量理论在莱比锡有市场，然而公认的“不变量之王戈丹（Paul Gordan，1837—1912）却在埃尔朗根。克莱因年轻时和挪威人李（Sophus Lie，1842—1899）一道奔赴巴黎，经历过若尔当（Camille Jordan，1838—1922）的群论熏陶，他珍惜人才，力促希尔伯特前往那个数学圣地“镀金”。赫尔维茨回信鼓励希尔伯特：为了超过法国的年轻人，“我们必须掌握他们得到的所有成果。”

在三个月的游学中，希尔伯特一心扑在数学上，他和庞加莱互有拜访，听讲了这位数学明星的课程，但他从与庞加莱的老师埃尔米特（Charles Hermite，1822—1901）的两次交谈中获益甚多，因为谈论的主题是他当时的最爱：不变量理论。六月底，在返回柯尼斯堡的途中，他在哥廷根停留，特地向履新的正教授克莱因汇报了巴黎印象，也被哥廷根的美丽环境折服。回程至柏林，他下车拜见了矮小但威严的克罗内克（Leopold Knonecker，1823—1891），对康托尔不友好的这位老人却对年轻人表示了“非常友好的态度”。

回到柯尼斯堡，希尔伯特用比博士论文更出色的关于不变量理论的研究爬上了德国大学学术阶梯的第一级——无薪讲师。在按照要求试讲了一堂数学课并获得通过后，1886年7月8日，他在写给克莱因的信中告诉对方他已经顺利晋升。然而，他已决定再写出一篇关于不变量理论的传世之作，为此他也开设了不变量理论的课程。1888年3月，他专程去埃尔朗根觐见这个理论的大王。

这部作品，由于解决了“戈丹问题”而成为传世之作。戈丹问题问的是：对一般代数形式，是否存在有限个不变量，它们组成所有不变量的“基”，即其他不变量都可用这组基的有理整式表达；这与线性代数中向量空间的基概念类似，只不过对后面这个基，表达形式是“线性组合”。戈丹在二十年前，对二次型用构造法解决了这个问题，而对一般的代数形式，同样的问题则被冠以戈丹之名。

离开戈丹后半年，希尔伯特开辟出一条新路，这是非构造性存在性证明的一个杰作，它的基础是他提出的“模”概念及“模的有限基存在性”断言。然而，对于笃信“存在必先构造”的部分数学家而言，即便逻辑上无懈可击，非构造性证明“不是证明”，他们中的有名代表就是克罗内尔，而戈丹则叫道：“这不是数学，这是神学。”

1888年12月“希尔伯特基定理”出版后，作者一方面向凯莱、戈丹等人解释他的证明，一方面寻找新的途径以满足“构造性证明”的希望，终于，继1890年在《数学年鉴》发表关于代数形式的一篇完整文章后，1892年，希尔伯特运用最早来源于克罗内克的“代数数域”概念，得到了一个构造性方法，让所有的数学家对他的有限基定理投了赞成票。戈丹也终于加了一句“神学也有它的价值”。

至此，希尔伯特在世界数学舞台上站稳了脚跟，克莱因也在考虑什么时候能将他搞到哥廷根。然而这还要等上三年。（未完待续）

写于2023年9月9日

2023年10月14日修改

美国哈蒂斯堡夏日山庄

本文受科普中国·星空计划项目扶持

出品：中国科协科普部

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本文来自微信公众号：返朴 （ID：fanpu2019），作者：丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）