缠斗两年终发表：如何在量子模拟器上克服拓扑缺陷？

自己满意的工作，如果没有被审稿人和编辑欣赏，应该如何应对？我想不管是转到低一级的杂志，抑或改投同层次的其他期刊，都无可厚非。今天想聊聊的是，面对逆境的一种态度，同时介绍下我们近期的一个有趣工作。

2019年，我开始关注量子退火/绝热量子计算领域。其核心思想是，一大类的量子计算问题本质上是一个组合优化问题，可以归化为求解自旋玻璃基态的问题。如果我们能找到一个好的算法，从指数多的近简并态中找到最优解，这个问题便迎刃而解。当然，目前认为量子退火（Quantum Annealing）算法是处理此类问题的一个利器，量子退火机也相对容易建造，目前D-wave公司已经将其商业化。

基于长期从事阻挫系统研究的经验，我立马意识到，如果待优化问题存在一些低能下的约束条件，则其很可能存在一些拓扑缺陷，使得基态被拓扑保护起来，很难通过寻常的量子算法达到最优解。这恰恰和拓扑量子计算相反：在拓扑量子计算中，拓扑特性可以保护量子比特不被环境影响；而在优化问题中，拓扑则阻碍了量子计算。那么遇到这类组合优化问题，有没有高效的量子算法解决呢？

虽然这类问题没有在理论上被正式提出过，但相关讨论已经广泛存在于量子模拟领域内。比如，近期的里德堡阵列和超导电路等系统^[1-9]，都热衷于实现晶格规范场中有趣的物理。而这里面就涉及了如何跨越拓扑类在量子模拟器上进行态制备的问题。

基于此，我和香港大学的孟子杨老师、加拿大圆周理论物理所的周正、北航中法航空学院的王艳成老师、同济大学的邱型泽老师、重庆大学的周彦桦以及张学锋老师组成的研究团队，提出了一种新的量子退火算法——扫描量子退火，解决了带有拓扑阻碍的组合优化问题。这项工作明确提出了新的问题（组合优化问题中出现拓扑阻碍），也给出了新的量子退火算法来解决，并且很容易在量子模拟器上实现。我们认为此工作创新性十足，也是我自己为数不多比较满意的工作之一。

早在2021年5月，我们就将论文挂在了arXiv上，然而正式投稿后，审稿过程却遭遇滑铁卢，十分崎岖坎坷。某L期刊的审稿人直击灵魂地问道：“既然你们的方法如此优越，这里有一本量子计算的书，你们应该解决书上的一两个典型问题。”

实际上，书内的问题都与拓扑缺陷无关。第一轮回复解释后，评委仍然无动于衷，我们只好transfer到了某A期刊，可是评委仍然坚持要求我们解决某教科书上的几个不带有拓扑阻碍属性的量子计算问题。无奈之下，我一度打算放弃发表，把这篇文章留在arXiv上。但是想到这项工作的诸多创新性，我又心有不甘，最终还是决定转投其他期刊试试。近期，论文终于被接收发表[npj Quantum Information 9， 89 (2023)]。历时两年，若干辗转，几欲放弃，不胜唏嘘。

其实我本人对于审稿制度是又爱又恨。恨的是，它浪费了科研人员大量的宝贵时间，去做一些所谓的“paper work”，为了迎合审稿人的要求，大费周折，有时候补充的工作量甚至相当于完成一项新工作的量，而文章本身的科学意义却不见得有所提升；很多时候审稿人为了找存在感，人为增加一些无关紧要的刁难，费时费工。

爱的是，它为科研设置了基本的门槛，把大量的错误研究挡在门外，至少一定程度上保证了科研论文的严谨性和正确性；另外，审稿人的否决，往往会令人不得不思考更深层次的物理内涵，借此让作者绝处逢生，绝地反击。

比如我之前关于纠缠谱的文章[Nature Communications 14， 2360 (2023)]，虽然解决了提取大尺寸系统纠缠谱的计算难题，但审稿人依旧不满意，在强烈的压迫下，我们又进一步提出了约化密度矩阵路径积分上的虫洞效应，使得Haldane的纠缠谱猜想得以非常好地解释和推广。我想如果没有审稿人逼那么一下，路径积分上的虫洞效应是不会在此次工作中被发现和提出的。

叙述至此，我想表达的核心思想已经结束了。希望各位在科研中都可以迎难直上，坚持本我。对于自己满意的工作，一定不要轻言放弃。下面我想花点笔墨，展开介绍下今次的工作。

首先，简单科普下自旋玻璃和量子退火。自旋和量子比特事实上可以认为是等价的，本质上都是二能级系统。自旋玻璃则是一堆自旋两两之间以无规则强度耦合的多体系统。一般来说，其哈密顿量可以写为 。在传统的统计物理中，自旋玻璃本身已经是一个长期的老大难问题。如图1(a)可见，自旋玻璃的构型能量图中存在大量近简并的构型，也就是我们常说的局域最小态（local minimum），这些态会大大阻碍系统达到真正的基态。演化的系统一旦被某个局域最小态捕获，就很难逃脱出去，会以为自己已经达到了基态。所谓的量子退火则是通过增强系统的量子隧穿（Tunneling）效应使其更容易找到基态。

图1. (a) 传统的玻璃模型下的退火示意图。通过量子隧穿可以找到全局最优态。(b) 在晶格规范场理论下的优化问题：量子隧穿如何才能跨越拓扑类找到全局最优态。

结合我自己一直在关注的晶格规范场模型的量子模拟，我很快联想到了一个有趣的问题：如果待优化问题中，含有拓扑性质，体系如何才能达到基态？如图1(b)所示，此时优化问题除了本身的许多近简并态之外，还存在着拓扑缺陷（topological defect），它将系统的低能有效空间分成了若干拓扑类。不同的拓扑类之间，想要通过局域的量子涨落是几乎不可能隧穿成功的。显然此时传统的量子退火算法已经失效，设计一种新的量子退火算法跨越拓扑阻碍至关重要。

这类拓扑缺陷的系统实则非常常见，从实验来说，目前通过量子模拟器实现晶格规范场、分形子等是非常重要的前沿，然而这些系统中存在许多子Hilbert空间无法通过局域的量子操作连接。那么实验中如何实现目标态，本身就涉及跨越拓扑类的概念。从理论上来说，当系统存在一个较大的能量尺度的时候，一部分构型比较高能，会被投影掉，而低能有效空间则是去除这些构型后的一个约束空间。这相当于一个带有约束条件的优化问题，而其本身当然是普遍存在的。举个例子，比如大家常玩的魔方、推箱子游戏等本质上都是约束条件下的优化问题。

经过分析，一个困难的带有拓扑性质的优化问题，应该具有如下几个特点：

1. 有很多能量近简并的拓扑类；

2. 能量最低的拓扑类占据Hilbert空间非常小的比例，极难找到；

3. 能量与之接近的其他拓扑类空间则很大，利于量子涨落。

结合之前的一些研究工作，我跟合作者马上确定了一个满足以上条件且极其简单的模型——各向异性三角晶格反铁磁Ising模型，其哈密顿量为，也就是x方向bond上的Ising相互作用强度和其他两个方向的强度不同。

图2. (a) 一个典型的困难拓扑优化问题示意图。(b) 三角晶格反铁磁Ising模型的低能有效构型可以映射为一个对偶六角格子的dimer模型。(c)， (d)， (e) 在三角晶格反铁磁Ising模型上找到(a)图中对应的拓扑类区间。(f) 两个高能的点缺陷才能把拓扑缺陷变成局域的。

借助图2的一些构型图，我们简单介绍下这个模型的低能约束和拓扑性质。可以直观想象，在低能下，三角格子顶点上的三个自旋无法同时满足彼此反向，必定每个三角形上存在一条边拥有两个同向自旋，而其他两条边则都满足自旋反向，我们称之为三角形规则，可见(b)， (c)， (d)， (e)中的所有构型都满足此条件。

我们做一个简单的映射，如图2(b)所示，把三角形上存在同向自旋的边上，填上一个粗bond，其余填上细bond，则三角形规则被映射到了一个六角形的dimer构型，满足每个格点上有且仅有一个dimer的约束。这其实是一个局域守恒条件，对应于局域对称性。事实上，它对照一个U(1)晶格规范理论，此处不是重点，不加赘述。

可以想象，如果是一个各向同性的Ising模型，那么所有满足三角形规则的构型都严格能量简并，全都是系统的基态。如果我们让Jx略微小一些，那么图2(c)将会成为系统的基态，所有同向的自旋会偏向于放在x方向上以使得能量最低。

在这样一个构型下，任意翻转一个自旋都将会破坏所谓的三角形规则，从而引起很高能的激发代价。所以这个态在低能下自己形成一个非常小的拓扑类，所占比的Hilbert空间极其狭小。因此对于这个目标态的搜索，本身就是一个极其困难的拓扑优化问题！

我们尝试了常用的均匀场量子退火方案和随机场量子退火方案，发现确实如我们所想，传统方法很难克服拓扑保护的鲁棒性，即使花费再长的时间，它们也无法走出当前拓扑类，如图3所示（QA和QA-h的线）。要解决这个拓扑带来的退火困难，我们发现有两个要素需要重点考虑：一是二维系统中，拓扑缺陷是一个线缺陷，普通的量子涨落可以扭动这条线的形状却不能消除/产生一条线；二是量子退火过程中的量子涨落项事实上高度可控，并不限于局域涨落。

基于以上两个考量，我们设计了一种线性退火项，也就是对一条线上的所有格点i作用一个横场。可以想象，当横场强度很大的时候，它等效于把此线上量子比特与其周边量子比特之间的Ising相互作用退耦合，也就是在一个Ising相互作用模型上剪开了一条边。慢慢调小此退火项，相当于把开放边界条件逐渐过渡为闭合边界条件。

图3. 均匀场量子退火（QA），随机场量子退火（QA-h）和扫描量子退火（SQA）随着量子蒙卡模拟时间所收敛到的最低能量。只有SQA跨越拓扑类到达了真正基态。

简单起见，我们把这个线性退火项设为直线形状，并且沿着整个系统不断重复“开边”到“闭边”的退火过程，并且在此基础上仍旧加上原始的点状退火作为整个过程的背景。在这样的设定下，我们发现拓扑缺陷可以在“开边”情况下被整条挪出“边界”，也就是等效于湮灭/产生了一个拓扑缺陷。我们把这种退火方案起名为扫描量子退火（Sweeping Quantum Annealing，SQA）。在这样的设定下，我们很快便能找到跨越拓扑类的全局最优态，如图3所示（SQA线）。

篇幅所限，其中细节各位感兴趣的同学老师可以参阅我们近期的文章[npj Quantum Information 9， 89 (2023)]。

参考文献

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本文受科普中国·星空计划项目扶持

出品：中国科协科普部

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本文来自微信公众号：返朴 （ID：fanpu2019），作者：严正（西湖大学物理系）