本文来自微信公众号：Wait But Why（ID：wbwtimurban），作者：Tim Urban，编译：谢熊猫君，编辑：Vivid & Las，封面来自原文
Jeopardy！是美国的一档老牌问答类综艺节目，参赛者靠答对问题来获得积分奖励，积分最高的选手不但能够以卫冕者身份继续参加下一场比赛，还能够获得获得等值于积分的奖金。
该综艺节目分为三个环节，分别是 Jeopardy、Double Jeopardy、Final Jeopardy。在 Jeopardy 和 Double Jeopardy 环节，三位参赛者有数次机会根据题目给出的线索答题，答对了可以获得线索对应的积分，答错则扣除对应积分。而在最终的 Final Jeopardy 环节，参赛选手可以各自自行选择想要下注的积分，如果答对则能获得下注积分的奖励，答错则扣除下注的积分。
Tim Urban 这篇短文，讨论的就是之前连胜 32 场的 James Holzhauer，最终输掉比赛时充满着争议的 Final Jeopardy 下注。
和很多读者一样，我最近对 James Holzhauer 在 Jeopardy 节目上的连胜表现非常着迷。James 有点古怪，他的表情有时候是这样：
或这样：
尽管如此，他非常讨人喜欢，给人的印象深刻地离谱。随着比赛的继续，我发现自己越来越像粉体育明星一样粉他。当他在 Double Jeopardy 环节落后时，我会身子前倾，坐到了座椅边缘，为他呐喊“加油”，当他答对的时候，我也会松一口气。在 Final Jeopardy 环节中，每当到了必须要答对问题才能连胜的关键时刻，我都会为他最后能答对而像疯子般地挥拳怒吼。
可惜，6 月 3 日的那场节目中，他伤透了我的心——离打破节目历史最高总奖金纪录就差一场，难以忍受的痛。
James 真的非常非常擅长 Jeopardy。在他参赛前，这档节目过去55年中最高的单场获胜金额是$77,000。James不仅连胜了 32 场（仅次于历史上最多的连胜77场），而且他的场均获胜金额也高于之前的 $77,000 纪录。现在，他在“有史以来最高的单日 Jeopardy 积分”中排名前 16 位。
看到某人在某事上比其他所有人都强那么多，真的是件有趣的事。这和我喜欢看专业体育赛事的原因一样——看 James 参加 Jeopardy，就像看库里射门得三分一样。唯一的区别是，库里一旦出现一场糟糕的比赛，他就会被终身禁赛，再也看不到他踢球了，这样的规则使得看 James 更加有趣。
在 James 卫冕失败后，出现了很多关于他的 Final Jeopardy 下注额度的讨论，而这就是我这篇文章想要讨论的话题，我的想法是：
注：对于不熟悉节目规则的读者：Final Jeopardy 是节目的最后一个环节，只有一道题。仅在得知一般主题类别之后，每个参赛者都可以对问题进行任何累积总额范围内的下注。答对了，就能额外获得下注等值的积分；答错了就失去下注积分。
Final Jeopardy 结束后，积分第一名的参赛者可以获得最后积分等额的奖金，并且第二天继续以卫冕者身份参赛。第二名只能获得 $2000，第三名只有 $1000，然后被淘汰。
No.1 Scenario A
如果你是参赛者，最简单的 Final Jeopardy 场景：进入本轮比赛时，第一名积分超过第二名积分的两倍。我们称这为场景 A：
如果你是场景 A 中的第一名，你只需要计算第二名积分的两倍，这是你“任何情况下都不要越过的底线”。
假设你有超过50%的可能性答对题目，你的最佳策略是在不越过“底线”的情况下尽量高地押注，这样一旦答对能赢的奖金最多。所以在上述情况下，你应该下注 $1999。如此一来，在最糟的情况下（你答错题目，第二名答对），你依然能保证以 $1的优势获胜。
如果你是场景A中的第二名，你已经失去了获得第一的资格，没人会关心你怎么玩下去，祝你玩得愉快。
因为James实在太擅长Jeopardy了，他几乎次次都是以第一名的身份进入到场景A，他的积分通常会（远远）高于第二名的两倍。在这些情节中，Final Jeopardy是很轻松毫无悬念的剧情，除了去看James那天的总收入有多高。
No.2：Scenario B
场景B就复杂一点。这个场景中，第二名的积分超过第一名的一半，但是少于第一名的三分之二。像这样:
如果你是场景B中的第一名，你会想要保证自己在答对题目的情况下能够获胜，这时候你就要考虑最糟的可能性：第二名押上全部积分，并且答对题目。第二名积分的两倍，就变成了“我答对题目时必须越过的天花板线”。在上图的场景中，“天花板线”是 $12000，所以你的押注不能少于 $2001。
你同样想要保证当你和第二名都答错的情况下，你依然能够获胜。这时的最糟情况就变成了：第二名答错，但因为某种奇怪的原因，一分钱也没下注。这时候，第二名在环节开始前的原始积分就成了“不管怎样都不要越过的底线”。在上图的场景中，你的最高押注金额为 $3999。
假设你不讨厌该问题的主题类别，有超过半数的可能性答对，最理性的押注金额就是最高 $3999。
假设第一名发挥最佳，并按照上述范围下注，第二名在场景B中的计算也挺简单。按照上面的押注策略，第一名只要答对，胜负就成定局。第二名答错，胜负也很明显。
作为第二名，想要逆袭成功的唯一可能就是第一名答错，第二名答对——因为只有在这种情况下，第二名的押注才有意义。并且希望在这种情况下最终获得最高总分，因此第二名的策略就是押上全部积分。
直到这里，我想大家对这些规则不会有太多争议。最后的场景C才是真正复杂的。
No.3：Scenario C
在场景C中，第二名的积分超过第一名的三分之二。
传统的策略是第一名想要在答对题目的情况下确保获胜，所以按照和场景B类似的计算方法，第一名的“必须越过的线”是$16000，最低下注额是 $6001。
知道第一名参赛者会这样思考的第二名，会思考下面这四种情况：
假设第一名最低下注 $6001，一旦他答对了，第二名就没有获胜可能。而如果第一名答错，第二名答对，第一名的积分会低于第二名的初始积分，这样第二名不管下注多少，都能逆袭成功。
但是如果第一名和第二名都答错了呢？
在场景B中，第一名是比较惬意的，双方都答对（绿格子和黄格子）或者都答错（蓝格子）的情况下都能赢。但是在场景C中，就没有那么惬意了——当第一名为了保证两人都答对的时候可以获胜而下注时，下注额度也使得他在答错的情况下分数会低于第二名的原始积分。
这给了场景C中的第二名额外的获胜机会——第二名知道第一名至少会下 $6001，第二名就会搏一把，争取能在两人都答错的时候使得自己的积分高过 $3999，也就有了一个 $4000 的最高下注额。
在上述情况下，第二名同样也想保证在自己答错的情况下，仍然高过第三名积分的两倍，也就是 $6000。所以第二名的理想下注额是 $1999，这意味着在第一名答错的情况下，不管第二名和第三名是否答对，第二名都能获得胜利（蓝色方格）。
在周一的比赛中，通常以场景A或B第一名身份进入Final Jeopardy环节的James，处在场景C第二名的位置，处在第一名的对手是实力强劲的Emma Boettcher。他们的分数如下：
James的押注策略和我上面描述的一致。他推测Emma会至少押注 $20201，从而保证超过 Emma 的“必须越过的天花板线”（James积分两倍：$46800），这样 Emma 才能保证在两人都答对的情况下能够获胜。
按照这个推测，Emma 如果答错，她的积分将跌到 $6399 或者更低。James 唯一的逆袭机会是 Emma 答错的情况，于是 $6399 变成了 James 的“底线”。他的最高下注额也就被限制在了 $17000。这样的下注额能够保证在Emma答错的情况下，James 的积分会超过 Emma。
但就好像我们上面描述的一样，积分第三名的参赛者，Jay Sexton 也存在一线生机。Jay 的积分的两倍（$22000），变成了 James 的第二条“底线”——所以 James 的押注额度是“完美”的 $1399。
这样的押注下，Emma 答错，James 就能逆袭，而Jay 无论如何不能翻身，James 本身是否答对就无所谓了。第二名不是最好的开局，但是 James 给自己创造了最佳的逆袭机会。
No.4：但真的是这样吗
这个时候的战术思考就变得有趣了。James在赛后的采访里面是这么解释他的逻辑的：
这和上面我写到的传统逻辑是一致的。这种场景 C 第二名独有的战术，收益是能够在第一第二名都答错的情况下获得胜利。最后的结果也没有太多的反转，Emma 确实下了 $20201 来防止 James 的全额押注天花板线，James 则是按照传统逻辑下注 $1399，两个人都答对了题，最后 Emma 获胜。
但是这一部分的假设真的对吗？
“ 她肯定会按照我全额押注两倍的天花板来押注至少 $20201。”
让我们仔细思考一下。如果你是 Emma，你知道 James 是个很有效的策略家，肯定已经分析过了 Final Jeopardy 的各种场景。你能够猜到 James 会采用上面的逻辑，给出 $1399 这样一个很小的押注来确保两人都答错时他能够逆袭。如果 James 根据自己猜测的你 （Emma）的做法而做出 $1399的小押注，你是有机会把“两人都答错”（蓝色格子）和“我答错，他答对”（橙色格子）这两种情况的优胜权抢回来了，只要你（Emma）的押注金额比传统逻辑的低就好了。
换句话说，就像 James 会假设 Emma “肯定会按照我全额押注两倍的天花板来押注至少 $20201”一样，Emma 可以进一步假设“James 肯定会假设我会押注至少 $20201”。Emma 的这个假设意味着她会推测出 James 的押注金额是 $1399 ——这代表着 James 即使答对了，最终积分也只有 $24799，还没有 Emma 的初始积分 $26600 那么高。所以 Emma 只要一分不下注，就能赢了。
这就是 Emma 的局中局。
如果你是 Emma，你知道 James 是个很聪明的人，你还知道 James 认为你（Emma）是个很聪明，但是没有聪明到想到这个局中局的对手的话，这个局中局将是个不错的策略。这样有风险，万一 James 没有 $1399 的小额下注，你输掉比赛的概率就很大了。
但是传统的天花板线逻辑也有风险，你（Emma）必须要答对题目才能赢。两个风险孰高孰低我不清楚，但是这个局中局策略不是毫无道理的。
这就把我们带回了 James 的决定。James 和 Emma 都很擅长 Jeopardy，所以我们假设他们 Final Jeopardy 的答题正确率都是 90%，我们的四分格变成了这样一种概率：
如果这种假设是准确的话，James 采用传统策略的胜率只有 10%。
这个胜率实在太低了，所以 James 很有可能使出局中局中局。
James 的局中局中局的逻辑是这样的，因为 Emma 可能使出局中局。而如果 Emma 真的使出局中局策略，James 押一个大额押注后的胜率会大幅提升。
以下是四种情况的详解：
James 放弃传统策略，采用局中局中局，只是舍弃了他和 Emma 都答错情况下的胜率，这种情况本身只有 1% 的可能出现。而他获得的东西是很多的，采用大额押注的局中局中局策略，如果 Emma 采用局中局策略，他的胜率就能达到90%。
虽然 Emma 依然更可能采用传统策略，但是这种可能性有多大？要记得，局中局除了本身自带的优势外，Emma 本人对于问题线索的主题类别的信心也会影响她的策略选择。
James 的传统策略要成为最优策略，Emma 采用局中局的可能性要低到可以忽略才行。（此处还可以留意一下，第三名的 Jay 没有进入我们讨论的范围，因为 Jay 能够最后翻身的可能性只存在于 Emma 和 James 都答错，唯独 Jay 答对问题的情况下，这种可能性是本身就很小的蓝色方格中的很小一部分。）
所以，考虑到以上种种情况，我觉得 James 做出了错误的决定。
当然，如果 Emma 真的把上面这些都想通了，她可能会意识到 James 的局中局中局对她的威胁，也就有可能采用局中局中局中局，把 James 大额押注的局中局中局扼杀掉。Emma 最后的大额押注意味着，她要么是采用了传统策略，要么是采用了局中局中局中局。
但不管她是怎么想的，James 正确的预测了她的押注，并且做出了这种预测下最好的押注，但这不意味着 James 的押注能赢。
本文来自微信公众号：Wait But Why（ID：wbwtimurban），作者：Tim Urban，编译：谢熊猫君，编辑：Vivid & Las