本文来自微信公众号：原理（ID：principia1687），作者：二宗主，题图来自：《钢铁侠2》
一
故事要从19世纪末开始说起。
1879年，物理学家埃德温·霍尔（Edwin Hall）在一项开创性的实验中，首次发现当一个磁场垂直地作用在一个金属条上时，会导致电子聚集在金属条的两端，使金属中的电流发生偏转，形成可测量的电压。这种现象被称为霍尔效应，而产生的垂直于电流方向的电压，被称为霍尔电压。
经典霍尔效应是带电粒子在磁场中运动所造成的简单结果：当导体上有一个沿x-方向的恒定电流（I），z-方向存在恒定磁场（B），那么在y-方向上将产生电压（V）。
不过，经典霍尔效应并非是这篇文章的主题。我们今天要说的，是在一个世纪之后被意外发现的霍尔效应的量子版本——量子霍尔效应。
量子霍尔效应。图片参考来源：Nature
二
1980年，德国物理学家克劳斯·冯·克利青（Klaus von Klitzing）在进行一项实验。他将原子级厚的晶体材料于低温下暴露在强磁场中，发现随着磁场强度的增加，金属电导的增加并不像经典物理学所预测的那样平滑地渐进增长，而是呈量子化的逐阶上升。
冯·克利青意识到，在这种情况下，霍尔电阻值与两个基本常数相关，其中一个是普朗克常数h，另一个是电子电荷e：量子化的霍尔电阻值整数倍正比于h/e²。
量子霍尔效应有两种，分别是整数和分数量子霍尔效应，图中显示的是整数量子霍尔效应。
1982年，实验物理学家霍斯特·施特默（Horst Störmer）和崔琦（Daniel Tsui ）发现了更令人疑惑的现象，他们在更低的温度和更强的磁场下，发现霍尔电导会以先前观察到的结果的分数倍量子化。这就好像电子以某种方式分裂成了更小的粒子，每个粒子都携带了电子的一小部分电荷。
分数量子霍尔效应。
量子霍尔效应的神奇之处在于，即使是无序或含有杂质的材料，其电阻也不会受到这些杂质的影响，一如既往地表现出精确的量子化。这种特性使得电阻可以得到最精确的测量。现在，量子霍尔效应是精确定义电阻单位——欧姆的基础。不仅如此，这种精确度还引发了一种新的基于基本常数的国际单位制的出现。
可以说，量子霍尔效应的发现标志着凝聚态物理学的一个重要转折点。迄今为止，与量子霍尔效应相关的实验和理论工作，已收获了三个诺贝尔物理学奖，分别授予了发现整数霍尔效应的冯·克利青（1985年）；发现分数霍尔效应的施特默和崔琦，以及理论物理学家罗伯特·劳夫林（Robert Laughlin）（1998年）；以及用拓扑学对量子霍尔效应作出了解释的物理学家戴维·索利斯（David Thouless），邓肯·霍尔丹（Duncan Haldane），以及迈克尔·科斯特立茨（Michael Kosterlitz）（2016年）。
三
量子霍尔效应的发现发生在上世纪80年代，它们都是先源于实验，之后才发展出了相关的理论。当时的物理学并不能完全解释为何电阻会随着磁场变化发生这种离散式的跳跃变化。而索利斯就利用拓扑的概念向当时有关材料导电性原理的理论发起了挑战，提出了突破性的新理论。
拓扑学描述的是，一个物体除非被撕裂，不然无论被如何拉伸、扭曲或者畸变，都会维持不变。在拓扑学中，球和碗是属于相同范畴；中间有孔的甜甜圈和手柄处有孔的咖啡杯则属于另一个范畴，相同范畴的物体之间才能相互转换，不同范畴的物体之间则不能。这与量子霍尔效应的情形有点类似：即使材料中存在着杂质，电导也不会改变。因此，含有空洞的个数为一个、两个、三个、四个……的这些拓扑物体，就被“借”用来描述量子霍尔效应中的导电现象。
索利斯等人将拓扑学结合到物理的材料学研究中，不仅对神秘的量子霍尔效应背后的理论做出了阐释，也开启了人们对拓扑绝缘体、拓扑超导体和拓扑金属等如今热门的课题的研究。在过去的十年多里，与拓扑材料相关的技术一直处于凝聚态物理研究的前沿。科学家也希望拓扑材料能被更好地应用于新一代的电子原件、超导体，或未来量子计算机中。
四
然而，数学家似乎并不能满足于索利斯等人对量子霍尔效应做出的解释。对于数学家来说，其背后的机制仍属于未解之谜。2015年，加州理工学院的数学家斯皮里宗·米哈拉基斯（Spyridon Michalakis）和微软的物理学家马修·海斯廷斯（Matthew Hastings）发表了一项为严格的数学证明。他们从2008年开始一同研究这一问题，其最终解决方案同样是基于数学中的拓扑学。
理论物理学家和数学家深知，几何物体的平均曲率具有拓扑性质，且微小的局部变形会改变局部的曲率。但是，若要将拓扑用于解释量子化的霍尔电阻，就必须对做出以下两种假设中的一种：要么是假设描述系统的数学空间的整体图景等同于局域图景，要么是假设系统中的电子不发生相互作用。而第一个数学假设的问题是——它可能是错误的；而第二个物理假设的问题是——它是不现实的。
而米哈拉基斯和海斯廷斯却成功地在拓扑结构和量子霍尔效应之间建立了坚不可摧的联系。他们用一种新颖的方式将整体图景与局域图景联系了起来，成功的摆平了这些假设。
他们的证明过程非常复杂，在经过反复的修改和编辑后，于2009年提交了一份长30页的证明，但由于专家们花了很长的时间来理解这些结果，所以直到2015年，这个证明才在正式发表。而直到2018年，数学家和物理学家们正式承认这个证明。
米哈拉基斯和海斯廷斯的论文。
五
然而，故事还没有结束。拓扑学受到了越来越多物理学家的青睐，比如现在物理学家和拓扑学家会合作研究分数量子霍尔效应。
1939年，量子物理的创始人之一保罗·狄拉克（Paul Dirac）在一次演讲中曾说：“纯数学和物理学之间的联系正在变得越来越紧密。”他甚至认为，这两门学科可能最终会合二为一，使纯数的每一个分支都有它的物理应用。
这种观点自然引起了一些纯数学家的不满，因为这听起来仿佛在说物理学家只是将数学视为他们研究自然世界的工具一样。虽然狄拉克的话或许值得商榷，但纯数学与物理学的结合的确可以带来意想不到的收获，量子霍尔电阻的数学证明就是最佳的例证。
参考来源：
https://www.nature.com/articles/d41586-020-02230-7
https://physics.aps.org/articles/v8/46
http://www.caltech.edu/news/solved-caltech-researcher-helps-crack-decades-old-math-problem-83296?utm_source=SpirosMathProblem_PMA_WC&utm_campaign=6f2bd3391e-EMAIL_CAMPAIGN_2018_08_23_12_40&utm_medium=email&utm_term=0_846b285134-6f2bd3391e-136430585
https://authors.library.caltech.edu/55577/1/1306.1258v2.pdf
本文来自微信公众号：原理（ID：principia1687），作者：二宗主